Evgeniy Klimov swoją przygodę zaczął od kombinacji norweskiej i tam był blisko medali na MŚ juniorów. Zdobył je jednak jako skoczek - zajął 3 miejsce w Val di Fiemme w 2014 roku. Rok później na Uniwersjadzie w Sterbskim Plesie znów zdobył brąz, a dodatkowo złoto w drużynie. Dopiero po tych występach dostał szansę startu w FIS Cup, gdzie od razu w Hinterzarten wygrał i zajął 3. miejsce. Nie minęło kilka dni, a już Rosjanin znalazł się w ekipie na MŚ seniorów w Falun. Tam zajął jednak dopiero 35-te miejsce. W tym samym roku debiutował w Pucharze Kontynentalnym i od razu w Niżnym Tagile był czwarty. W Pucharze Świata po raz pierwszy wystąpił w drużynówce w Klingenthal na początku sezonu 2015/16. Pierwsze punkty zanotował jednak w Niżnym Tagile (18 pozycja). Jego najlepszy wynik to 3. miejsce w Innsbrucku w 2017 roku. Latem 2018 uzyskał znakomitą formę, co zaowocowało zwycięstwem w całym cyklu Letniej Grand Prix. Znakomicie rozpoczął też sezon zimowy 2018/19 - od zwycięstwa w inauguracyjnym konkursie w Wiśle. Został jednocześnie pierwszym Rosjaninem, który wygrał konkurs PŚ! W 2022 roku na ZIO w Pekinie zdobył srebrny medal w drużynówce mixtów, a indywidualnie był piąty na skoczni normalnej.