Krzysztof Biegun rozwijał swój talent w cieniu Klimka Murańki i Olka Zniszczoła. Debiutował na arenie międzynarodowej w 2011 roku występem w FIS Cupie w Strbskim Plesie. W tym samym roku na Olimpiadzie Młodzieży w Libercu wywalczył złoto z drużyną. Dwa lata później z tą samą drużyną zdobył srebro na Mistrzostwach Świata Juniorów. Kilka dni później debiutował w zawodach Pucharu Świata. Od razu zdobył punkt i to na skoczni mamuciej. Latem 2013 roku jego talent eksplodował. Wygrał zawody Pucharu Kontynentalnego w Stams i dwukrotnie zajmował drugie miejsce w Kranju. Doskonałą postawą wywalczył sobie miejsce w kadrze na zawody Letniej Grand Prix w Hinterzarten. Tam zajął 12. miejsce. Na skoczni w Wiśle-Malince wygrał z kolegami konkurs drużynowy na własnej ziemi. Dzień później był siódmy w konkursie indywidualnym,. Pod koniec sierpnia wygrał zawody w Hakubie. W klasyfikacji generalnej LGP Biegun zajął piąte miejsce, najwyższe spośród zawodników naszej kadry. Został te wicemistrzem Polski na normalnej skoczni. Na inaugurację PŚ 2013/14 po kuriozalnym konkursie w Klingenthal wygrał zawody Pucharu Świata i został liderem klasyfikacji. Pojechał na Uniwersjadę do Trentino i zdobył dwa złote medale. Indywidualnie na dużej skoczni i w drużynie. Na skoczni normalnej zdobył srebrny krążek. Po kilku słabych sezonach w 2018 roku zakończył karierę.