Eirik Kjelstrup urodził się w Oslo 21 listopada 1989 roku. Mieszka w Stovner, a skakał w klubie Bekkelage. Zaczął skakać w wieku 5 lat. Debiut na arenie międzynarodowej miał w 2005 roku podczas zawodów FIS Cup w Vikersund. Od razu punktował. W Harrachovie w styczniu 2006 był nawet 9-ty. Na MŚ Juniorów w Kranju zajął 27 miejsce. Awansował do Pucharu Kontynentalnego, gdzie jego najlepszym osiągnięciem było 8 miejsce w Kranju. Latem 2007 debiutował w Letniej Grand Prix. W Hinterzarten zajął 33 pozycję. Podczas Mistrzostw Świata Juniorów w Zakopanem w konkursie drużynowym wywalczył 4. miejsce. Ponadto jest letnim Mistrzem Norwegii z 2007 roku oraz brązowym medalistą Mistrzostw Norwegii również z 2007 roku. W ostatnich sezonach prezentował dość regularną formę w Pucharze Kontynentalnym, gdzie prawie zawsze punktował. Rekord życiowy Eirika to 145 m. Obecnie uważany jest za nadzieję norweskich skoków narciarskich.