Stephan Leyhe w wieku pięciu lat wziął udział w kursie próbnym w Willingen. Ojciec Volker nauczył go wcześniej narciarstwa.
W zawodach międzynarodowych zadebiutował w sezonie 2006/2007. 3 lutego 2007 zajął 11. miejsce w konkursie FIS Cup w Chaux-Neuve. 22 marca 2009 zdobył pierwsze w karierze punkty Pucharu Kontynentalnego, zajmując 28. miejsce w konkursie w Kuusamo. 2 lutego 2010 w Klingenthal wystartował w kwalifikacjach do zawodów Pucharu Świata, ale nie dostał się do konkursu głównego. Trzykrotnie wystąpił na mistrzostwach świata juniorów. Dwa razy zdobył na nich srebrny medal w zawodach drużynowych. W sezonie 2018/19 zajął 3. miejsce w klasyfikacji generalnej Turnieju Czterech Skoczni, ale nie stanął na podium ani razu (zajmując miejsca 13,7,4,4). W lutym 2020 roku wygrał zawody PŚ w Willingen na skoczni w swojej miejscowości. Po sezonie 2024/25 zakończył karierę.